IL PIANO CARTESIANO

In matematica un sistema di riferimento cartesiano è un sistema di riferimento formato, in un numero n di dimensioni, da n rette ortogonali, intersecantesi tutte in un punto chiamato origine, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali. Particolarmente importanti sono il caso in 2 dimensioni, nel qual caso il sistema di riferimento viene chiamato piano cartesiano, e quello in 3, usato solo per identificare la posizione di punti nello spazio.

Usando un sistema di riferimento cartesiano, è possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o superfici: i punti dell’oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l’equazione associata. Per esempio è possibile descrivere una circonferenza nel piano cartesiano, oppure una quadrica nello spazio tridimensionale.

L’aggettivo cartesiano è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (italianizzato in Renato Cartesio, latinizzato in Renatus Cartesius) il quale, tra le altre cose, riprendendo studi del matematico medievale Nicola d’Oresme, lavorò sulla fusione dell’algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia.

L’idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa ne la Geometria.

Un sistema di coordinate cartesiano ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è costituito da:

  • l’asse delle ascisse costituisce la retta di riferimento, che Oresme chiamava latitudo, (solitamente caratterizzata dalla lettera x);
  • l’asse delle ordinate costituisce la retta ortogonale alla retta di riferimento, che Oresme chiamava longitudo, (solitamente caratterizzata dalla lettera y);
  • l’origine, il punto nel quale le due rette si incontrano.

Il piano cartesiano, che viene spesso chiamato xy dal nome degli assi, può essere immaginato, pensando che il piano sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), e mettendosi in piedi in un punto con il braccio sinistro teso in avanti e il braccio destro teso di lato in modo da formare con le due braccia un angolo retto: il punto sul quale si sta rappresenta l’origine, la direzione del braccio destro rappresenta l’asse delle ascisse positive (dalla parte opposta le ascisse negative), la direzione del braccio sinistro rappresenta l’asse delle ordinate positive (alle spalle le ordinate negative).

L’equazione x^2+y^2=4 rappresentata nel piano xy rappresenta una circonferenza di raggio 2 e centrata nell’origine.

Il sistema costituito dalla coppia dei due assi orientati (e implicitamente dall’origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto che rappresentano le distanze del punto rispettivamente dall’asse y (ordinata) e dall’asse x (ascissa). Le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con x e y. I punti sull’asse x hanno quindi ordinata y=0, mentre i punti sull’asse y hanno ascissa x=0; di conseguenza l’origine ha coordinate x=0 e y=0. Talora il sistema dei due assi si denota con Oxy.

Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo \left(x;y\right) oppure \langle x;y \rangle. Ad esempio, i punti (2,3)  e (2,5) hanno la stessa ascissa (quindi si trovano su di una retta parallela all’asse y), mentre i punti (2,3) e (-1,3) hanno la stessa ordinata (quindi si trovano su di una retta parallela all’asse x). In particolare: se due punti hanno la stessa ascissa ma ordinate opposte sono simmetrici rispetto all’asse x; se due punti hanno la stessa ordinata ma ascisse opposte sono simmetrici rispetto all’asse y; se due punti hanno coordinate opposte sono simmetrici rispetto all’origine.

Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:

  • I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
  • II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;
  • III quadrante: comprende punti aventi ascissa ed ordinata negative;
  • IV quadrante: comprende punti aventi ascissa positiva ed ordinata negativa.

Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamente funzioni di due variabili del tipo y=f(x) in cui x è la variabile indipendente e y la variabile dipendente. Ciò permette di visualizzare la “forma” di curve e risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s